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一．什么是卫星星历，星历误差，及其定义与分类

卫星星历 ：又称为两行轨道数据（TLE，Two-Line Orbital Element），由美国celestrak发明创立。

卫星星历是用于描述太空飞行体位置和速度的表达式———两行式轨道数据系统。卫星、航天器或飞行体一旦进入太空，即被列入NORAD卫星星历编号目录。列入NORAD卫星星历编号目录的太空飞行体将被终生跟踪。卫星、火箭残骸等飞行体成为太空垃圾时，仍被列入NORAD卫星编号目录，直到目标消失。卫星星历以开普勒定律的6 个轨道参数之间的数学关系确定飞行体的时间、坐标、方位、速度等各项参数，具有极高的精度。卫星星历能精确计算、预测、描绘、跟踪卫星、飞行体的时间、位置、速度等运行状态；能表达天体、卫星、航天器、导弹、太空垃圾等飞行体的精确参数；能将飞行体置于三维的空间；用时间立体描绘天体的过去、现在和将来。卫星星历的时间按世界标准时间（UTC）计算。卫星星历定时更新。

卫星星历可应用于军事、天文、航天、航天器的预测、定位、轨道、跟踪、测量和太空垃圾的计算、预测、描绘、跟踪。

卫星星历误差 ：由星历所计算得到的卫星的空间位置与实际位置之差称为卫星星历误差。

卫星星历是由地面监控站跟踪监测卫星求定的。由于卫星运行中要受到多种摄动力的复杂影响，而通过地面监控站又难以充分可靠地测定这些作用力或掌握其作用规律，因此在星历预报时会产生较大的误差。在一个观测时间段内，星历误差属于系统误差，是一种起算数据误差。它不仅严重影响单点定位的精度，也是精密相对定位的重要误差来源。

星历误差可以近似地认为基线的相对精度近似地等于星历的相对精度（星历误差与高度 20200km之比）．但严格而言，星历误差对基线的影响与卫星和基线的相对几何分布有关，很难具体估计其大小，当观测卫星数多于4颗时，星历误差的影响将大大地减小。

广播星历和精密星历卫星星历是GPS卫星定位中的重要数据。由卫星星历所给出的卫星位置与卫星的实际位置之差称为卫星星历误差。GPS卫星的广播星历是由全球定位系统的地面控制部分所确定和提供的,经GPS卫星向全球所有用户公开播发的一种预报星历,其精度较差。SA政策取消后,广播星历所给出的卫星的点位中误差为5~7m。

二．GPS卫星的广播星历及其误差

广播星历是定位卫星发播的无线电信号上载有预报一定时间内卫星根数的电文信息。

广播星历的精度是极不稳定的，它受星历年龄、轨道是否调整、是否处于地球和月亮的阴影区等很多对用户而言是偶然因素的影响，即使设有SA政策，广播星历也可能会差于 1(Xhn，多观测一些卫星能提高精度。在求解CPS卫星轨道时，广播星历只起确定初值的作用，lOOm的精度完全足够了。但卫星运动力模型的误差将引起定出轨道的周期误差，在长距离定位时一般应采用精密星历或同时定轨。

广播星历误差是当前GPS定位的重要误差来源之一。美国SA政策取消后,GPS卫星的广播星历误差对GPS单点以及对事后载波相位差分GPS数据精度的影响程度究竟如何,在缺乏数据的情况下只能依据相关资料所提供的估计值,通过理论分析和事后数据处理的方法对广播星历误差影响GPS单点及事后载波相位双差定位精度的程度展开研究。

三．精密星历

精密星历供卫星精密定位所使用的卫星轨道信息。精密星历是由若干卫星跟踪站的观测数据，经事后处理算得的供卫星精密定位等使用的卫星轨道信息。

精密星历是为满足大地测量、地球动力学研究等精密应用领域的需要而研制、生产的一种高精度的事后星历。目前的GPS精密星历主要有两种:由美国国防制图局(DMA)生产的精密星历以及由国际GPS服务IGS(International GPS Serv-ice)生产的精密星历。前者的星历精度约为2cm,后者的星历精度约为5cm。采用精密星历时应该注意，各个 GPS资料处理中心提供的精密星历尽管在数值上很接近，但由于各自采用的卫星运动力模 型不一致，可能会对基线解算产生系统性的差异。

四．有关星历误差分析及其改正

GPS广播星历的轨道误差分析

卫星星历是卫星定位的前提和基础，其轨道精度的好坏将直接影响定位的精度和结果。GPS广播星历虽然精度较精密星历低，但因为其具有实时、易获取的特点，已被众多实时导航和定位用户所广泛使用。David L.M. Warren、John F. Raquet对1993年到2002年期间的GPS广播星历的轨道精度情况进行了分析，得到了一些有益的结论。

2002年，为了提高GPS的定位精度，NGA(National Geospatial-Intelligence Agency)将AII的一些改进成果应用到主控站上，由NGA与JPO支持的这项计划最终成功实行，即L-AII（Legacy Accuracy Improvement Initiative）计划，它主要包括[4]：①将NGA观测站对GPS卫星进行跟踪观测的数据添加到卫星定轨、预报过程中，并且加入的观测站数目会不断增加，由开始6个站到最后11个站，使得所有的GPS卫星在任意时刻至少有一个地面跟踪站对其进行观测。而此前对GPS进行跟踪观测的只有OCS的5个监测站。②对卫星定轨/推估过程中所使用的动力学模型的改进，以及单区（single partition）定轨策略的实行。

在各机构的努力下，特别是L-AII计划的实施，广播星历的轨道精度有了很大的提高，从长期趋势中可以看到在三个方向上的偏差的日平均值都接近于0；对定位精度影响最大的径向误差的日均方根差由2002年的0.8m左右降低到了2006年的0.6m左右，径向误差以及法向误差也分别由2002年的4m、2.5m左右降低到了2006年的1.5m、0.9m左右；且在不考虑钟差的情况下，SISRE也由1m左右降低到接近于0.7m；到2006年底几乎所有卫星的三维偏差的RMS都达到了2m左右。可以期待的是在相关机构的进一步努力下，以及性能更为优异的新卫星的陆续升空，GPS的广播星历的轨道精度将会得到更进一步的提高。

GPS广播星历误差对单点定位的影响

在单点定位中,卫星星历误差对解箅结果影响较大.普通单点定位及精密单点定位的数学模型,通过广播星历及精密星历数据的解算,分析星历精度对单点定位的影响.计算结果表明,使用超快星历代替最终精密进行精密单点定位是可行的.

IGS精密星历的误差分析

采用高精度的ITRF2000全球参考框架、新的地球物理模型和误差改正模型、统一的卫星轨道参量和地球自转模型、统一的数据处理策略，重新处理了IGS全球跟踪站数据以求解1994—2004年的GPS卫星轨道。通过轨道比较评估了IGS精密星历的系统偏差和随机误差，发现IGS精密星历标称精度和实际精度存在差异，特别是早期结果。IGS精密星历在不同时期存在不同的系统偏差，主要由其在不同时期采用的不同ITRF序列参考框架之间的差异引起，IERS公布的转换参数不能完全表征ITRF序列间的差异。相对于重解精确轨道，IGS精密星历随机误差随时间逐渐减小，1994年为15—20cm，1998年逐渐减小到6 8cm，1998年以后小于5cm。

结语：本文通过对一些GPS基本知识的理解和相关文献的查找整理得出以上叙述，其中列举了较新的分析误差的理论方法及个人的观点，加深了对GPS相关误差的理解。

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火箭: 宇航时代的开拓者

信息发布时间：2007-01-08

一. 引言

这个 “星际旅行漫谈” 系列原本是为了讨论未来的星际旅行技术而写的。 不过今天却要来讨论一种比较 “土” 的技术： 火箭。 之所以讨论火箭， 主要的原因有两个： 一个是因为我国的第一艘载人飞船 “神舟五号” 即将发射， 在这个中国宇航员即将叩开星际旅行之门的时刻， 我们这个系列不应该缺席， 更不应该让火箭这位宇航时代的开拓者在这个系列中缺席。 另一个是因为火箭虽然是一种不那么 “未来” 的技术， 但我觉得， 在我和读者们能够看得到的将来， 承载人类星际旅行之梦的技术很有可能仍然是火箭这匹识途的老马。

二. 宇宙速度

火箭理论的先驱者、 俄国科学家齐奥尔科夫斯基 (K. E. Tsiolkovsky 1857-1935) 有一句名言： “地球是人类的摇篮。 但人类不会永远躺在摇篮里， 他们会不断探索新的天体和空间。 人类首先将小心翼翼地穿过大气层， 然后再去征服太阳周围的整个空间”。

星际旅行是一条漫长的征途， 人类迄今在这条征途上走过的路程几乎恰好就是 “征服太阳周围的整个空间”， 而在这征途上的第一站也正是 “穿过大气层”[注一]。

在人类发射的航天器中数量最多的就是那些刚刚 “穿过大气层” 的航天器 - 人造地球卫星， 迄今已经发射了五千多颗。 其中第一颗是 46 年前 (1957 年 10 月 4 日) 在前苏联的拜克努尔发射场发射升空的。

从运动学上讲， 这些人造地球卫星的飞行轨迹与我们随手抛掷的一块石头的飞行轨迹是属于同一类型的。 我们抛掷石头时， 抛掷得越快， 石头飞得就越远， 石头飞行轨迹的弯曲程度也就越小。 倘若石头抛掷得如此之快， 以致于飞行轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同， 石头就永远也不会落到地面了[注二]。 这样的石头就变成了一颗环绕地球运转的小卫星。 一般来说， 石头也好， 卫星也罢， 它们的飞行轨迹都是椭圆[注三]。 对于石头来说， 如果它飞得不够快， 那它很快就会落到地面， 从而我们只能看到椭圆轨道的一个极小的部分， 那样的一个部分近似于一段抛物线。

那么一块石头要抛掷得多快才能不落回地面呢？ 或者说一枚火箭要能达到什么样的速度才能发射人造地球卫星呢？ 这个问题的答案很简单， 尤其是对于圆轨道的情形。 在圆轨道情形下， 假如轨道的半径为 r， 卫星的飞行速度为 v[注四]， 则维持卫星飞行所需的向心力为 F=mv2/r (m 为卫星质量)， 这一向心力来源于地球对卫星的引力， 其大小为 F=GMm/r2 (M 为地球质量)。 由此可以得到 v=(GM/r)1/2。 假如卫星轨道很低， 则 r 约等于地球半径 R， 由此可得 v≈7.9 公里/秒。 这个速度被称为 “第一宇宙速度”， 它是人类迈向星空所要达到的最低速度。

但是细心的读者可能会从上面的计算结果中提出一个问题， 那就是 v=(GM/r)1/2 随着轨道半径的增加反而减小， 也就是说轨道越高的卫星， 飞行的速度就越小。 但是直觉上， 把东西扔得越高难道不应该越困难吗？ 再说， 倘若把卫星发射得越高所需的速度就越小， 那么 v≈7.9 公里/秒 这个 “第一宇宙速度” 岂不就不再是发射人造地球卫星所要达到的最低速度了？ 这些问题的出现表明对于发射卫星来说， 卫星的飞行速度并不是所需考虑的唯一因素。 那么， 还有什么因素需要考虑呢？ 答案是很多， 其中最重要的一个是引力势能。 事实上描述发射卫星困难程度的更有价值的物理量是发射所需的能量， 也就是把卫星从地面上的静止状态送到轨道上的运动状态所需提供的能量。 因此我们改从这个角度来分析。 在地面上， 卫星的动能为零[注五]， 势能为 -GMm/R (R 为地球半径)， 总能量为 -GMm/R； 在轨道上， 卫星的动能为 mv2/2=GMm/2r (这里运用了 v=(GM/r)1/2)， 势能为 -GMm/r， 总能量为 -GMm/2r。 因此发射卫星所需的能量为 GMm/R - GMm/2r。 这一能量相当于把卫星加速到 v=[GM(2/R - 1/r)]1/2 所需的能量。 由于 r>R， 这一速度显然大于 v=(GM/R)1/2≈7.9 公里/秒 (而且也符合轨道越高发射所需能量越多这一 “直觉”)。 这表明 “第一宇宙速度” 的确是发射人造地球卫星所需的最低速度， 只不过它表示的并不是飞行速度， 而是火箭提供给卫星的能量所对应的等价速度。 在发射卫星的全过程中， 火箭本身的飞行速度完全可以在任何时刻都低于这一速度。

上面的分析是针对圆轨道的， 那么椭圆轨道的情况如何呢？ 在椭圆轨道上， 卫星的飞行速度不是恒定的， 分析起来要困难一些， 但结果却同样很简单， 卫星在椭圆轨道上的总能量仍然为 -GMm/2r， 只不过这里 r 表示所谓的 “半长径”， 即椭圆轨道长轴长度的一半。 因此上面关于 “第一宇宙速度” 是发射人造地球卫星所需的最小 (等价) 速度的结论对于椭圆轨道也成立， 是一个普遍的结论。

在人造地球卫星之后， 下一步当然就是要把航天器发射到更远的地方 - 比方说月球 - 上去。 那么为了实现这一步火箭需要达到的速度又是多少呢？ 这个问题的答案也很简单， 不过在回答之前先要对 “更远的地方” 做一个界定。 所谓 “更远的地方”， 指的是离地心的距离远比地球半径 (约为 6.4×103 公里) 大， 但又远比地球与太阳之间的距离 (约为 1.5×108 公里) 小。 之所以要有后面这一限制， 是因为在讨论中我们要忽略太阳的引力场[注六]。 由于航天器离地心的距离远比地球半径大， 因此与发射前在地面上的引力势能相比， 它在发射后的引力势能可以被忽略； 另一方面， 由于航天器不再做环绕地球的运动， 其动能也就不再受到限制， 最小可能的动能为零。 因此发射后航天器的最小总能量近似为零。 由于发射前航天器的总能量为 -GMm/R， 因此需要由火箭提供给航天器的能量为 GMm/R， 相当于把航天器加速到 v=(2GM/R)1/2≈11.2 公里/秒 的速度。 这个速度被称为 “第二宇宙速度”， 有时也被称为摆脱地球引力束缚所需的速度， 它也是一个等价速度。

倘若我们想把航天器发射得更远些， 比方说发射到太阳系之外 - 就象本系列的 序言 中提到的 “先驱者号” 探测器一样 - 火箭需要达到的速度又是多少呢？ 这个问题比前两个问题要复杂些， 因为其中涉及的有地球与太阳两个星球的引力场， 以及地球本身的运动。 从太阳引力场的角度看， 这个问题所问的是在地球轨道所在处、 相对于太阳的 “第二宇宙速度”， 即： v=(2GMS/RS-E)1/2 (其中 MS 为太阳质量， RS-E 为太阳与地球之间的距离)。 这一速度大约为 42.1 公里/秒。 相对与第一、 第二宇宙速度来说， 这是一个很大的速度。 但是幸运的是， 我们的地球本身就是一艘巨大的 “宇宙飞船”， 它环绕太阳飞行的速度大约是 29.8 公里/秒。 因此如果航天器是沿着地球轨道运动的方向发射的， 那么在远离地球时它相对于地球只要有 v’ = 12.3 公里/秒 的速度就行了。 在地心参照系中， 发射这样的一个航天器所需要的能量为 mv’2/2 + GMm/R (其中后一项为克服地球引力场所需要的能量， 即把航天器加速到第二宇宙速度所需要的能量)， 相当于把航天器加速到 v≈16.7 公里/秒 的速度。 这一速度被称为 “第三宇宙速度”， 有时也被称为摆脱太阳引力束缚所需要的速度， 它同样也是一个等价速度， 而且还是针对在地球上沿地球轨道运动方向发射航天器这一特殊情形的。

以上三个 “宇宙速度” 就是迄今为止火箭技术所跨越的三个阶梯。 在关于 “第三宇宙速度” 的讨论中我们看到， 行星本身的轨道运动速度对于把航天器发射到遥远的行星际及恒星际空间是很有帮助的。 这种帮助不仅在发射时可以大大减少发射所需的能量， 而且对于飞行中的航天器来说， 倘若巧妙地安排航线， 也可以起到 “借力飞行” 的作用， 比如 “旅行者号” 就曾利用木星的引力场及轨道运动速度来加速。

三. 齐奥尔科夫斯基公式

在上节中我们讨论了为发射不同类型的航天器， 火箭所要达到的速度。 与火箭之前的各种技术相比， 这种速度是很高的。 在早期的科幻小说中， 人们曾设想过用所谓的 “超级大炮” 来发射载人航天器。 其中最著名的是法国科幻小说家凡尔纳 (J. G. Verne 1828-1905) 的作品。 凡尔纳在他的小说 ?从地球到月球? (?From the Earth to the Moon? 1866) 中曾经让三位宇航员挤在一枚与 “神舟号” 的轨道舱差不多大的特制的炮弹中， 用一门炮管长达 900 英尺 (约 300 米) 的超级大炮发射到月球上去 (最终没能击中月球， 而成为了环绕月球运动的卫星)。 但是凡尔纳虽然有非凡的想象力， 却缺乏必要的物理学及生理学知识。 他所设想的超级大炮若真的在 300 米的炮管内把 “炮弹” 加速到 11.2 公里/秒 (第二宇宙速度)， 则 “炮弹” 的平均加速度必须达到 200000 米/秒2 以上， 也就是 20000g (g≈9.8米/秒2 为地球表面的引力加速度) 以上。 但是脆弱的人类肌体所能承受的最大加速度只有不到 10g。 这两者的差距无疑是灾难性的， 因此凡尔纳的炮弹虽然制作精致， 乘坐起来却一点也不会舒适。 不仅不会舒适， 且有性命之虞， 事实上英勇的宇航员们在 “炮弹” 出膛时早就变成了肉饼， 炮弹最后有没有击中月球对他们都已经不再重要了。 倘若炮弹真的击中月球的话， 其着陆方式属于所谓的 “硬着陆”， 就象陨石撞击地球一样， 着陆时的速度差不多就是月球上的第二宇宙速度 (2.4 公里/秒)， 相当于在地球上从比珠穆朗玛峰还高 30 倍的山峰上摔到地面， 这无异是要把肉饼进一步摔成肉浆。

因此对于发射航天器 (尤其是载人航天器) 来说， 很重要的一点就是航天器的加速过程必须发生在一个较长的时间里 (减速过程也一样)。 但是加速过程持续的时间越长， 在加速过程中航天器所飞行的距离也就越大。 以凡尔纳的超级大炮为例， 倘若炮弹的加速度小于 10g， 则加速过程必须持续 100 秒以上， 在这段时间内炮弹飞行的距离在 500 公里 以上。 炮弹的加速度越小， 这段距离就越大。 由于炮弹本身没有动力， 因此这段距离必须都在炮管内。 这就是说， 凡尔纳超级大炮的炮管起码要有 500 公里长！ 建造这样规模的大炮显然是很困难的， 别说凡尔纳时代的技术无法办到， 即使在今天也是申请不到经费的。 因此航天器的发射必须另辟奚径[注七]。 火箭便是一种与凡尔纳大炮完全不同但却非常有效的技术手段。

火箭是一种利用反冲现象推进的飞行器， 即通过向与飞行相反的方向喷射物质而前进的飞行器。 从物理学上讲这种飞行器所利用的是动量守恒定律。 下面我们就来简单地分析一下火箭的飞行动力学。

假设火箭单位时间内喷射的物质质量为 -dm/dt (m 为火箭质量， dm/dt<0)， 喷射物相对于火箭的速度大小为 u (方向与火箭飞行方向相反)， 则在时间间隔 dt 内， 火箭的速度会因为喷射而得到一个增量 dv。 依据动量守恒定律， 在火箭参照系中我们得到：

mdv = -udm

对上式积分并注意到火箭的初速度为零便可得：

v = u ln(mi/mf)

其中 mi 与 mf 分别为火箭的初始质量及推进过程完成后的质量 (显然 mi>mf)。 这一公式被称为齐奥尔科夫斯基公式， 它是由上文提到的俄国科学家齐奥尔科夫斯基发现的， 那是在 1897 年， 那时候的天空还是一片宁静， 连飞机都还没有上天。 齐奥尔科夫斯基因为在航天领域中的一系列卓越的开创性工作而被许多人尊称为 “航天之父”。

从齐奥尔科夫斯基公式中我们可以看到， 火箭所能达到的速度可以远远地高于喷射物的喷射速度。 这一点是很重要的， 因为这意味着我们可以通过一种较低的喷射速度来达到航天器所需要的高速度， 这在技术上远比直接达到高速度容易得多。 从某种意义上讲， 凡尔纳的超级大炮之所以没能成为一种成功的载人航天器的发射装置， 正是因为它试图直接达到航天器所需要的高速度。

但是火箭虽然能够达到远比喷射物喷射速度更高的速度， 为此所付出的代价却也不小， 火箭所要达到的速度越高， 它的有效载荷就越小。 这一点从齐奥尔科夫斯基公式中可以很容易地看到。 我们可以把公式改写为： mf = mi exp(-v/u)， 由此可见， 火箭的飞行速度 v 越高， 它的有效载荷 (mf 中的一部分) 也就越小。 假如我们想用 v=1 公里/秒 的喷射速度来达到第一宇宙速度 (即将有效载荷送入近地轨道)， 则 mf/mi≈0.00037， 也就是说一枚发射质量为一千吨的火箭只能让几百公斤的有效载荷达到第一宇宙速度， 这样的效率显然是太低下了。

为了克服这一困难， 齐奥尔科夫斯基提出了多级火箭的设想。 多级火箭的好处是在每一级的燃料用尽后可以把该级的外壳抛弃， 从而减轻下一级所负载的质量。 在理论上， 火箭的级数越多， 运载效率就越高， 不过在实际上， 超过三级的火箭其技术复杂性的增加超过了运载效率方面的优势， 运用起来得不偿失。 因此目前我们使用的火箭大都是三级火箭。 即便使用多级火箭， 航天飞行的消耗仍是惊人的， 通常一枚发射质量为几百吨的火箭只能将几吨的有效载荷送入近地轨道 (比如发射 “神舟号” 飞船的长征二号 F 型火箭发射质量约为 480 吨， 近地轨道的有效载荷约为 8 吨)。

四. 接近光速

前面说过， 这个星际旅行系列主要是为了讨论未来的星际旅行技术而写的， 因此在这里我们也要把目光放远些， 看看上节讨论的火箭动力学在火箭速度持续提高， 乃至接近光速时会如何。 到目前为止人类发射的航天器中飞得最远的已经飞到了冥王星轨道之外。 冥王星自 1930 年被发现以来， 就一直是太阳系中已知的离太阳最远的行星。 在那之外是一片冰冷广袤的空间。 人类要想走得更远， 必须要有更快的航天器。 在齐奥尔科夫斯基公式中火箭的速度是没有上限的， 通过提高喷射物的喷射速度， 通过增加火箭质量中喷射物所占的比例， 火箭在原则上可以达到任意高的速度。 这一点显然是错误的， 因为物体的运动速度不可能超过光速， 这是相对论的要求[注八]。因此当火箭运动速度接近光速时， 齐奥尔科夫斯基公式不再成立。 那么有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式， 在火箭运动速度接近光速时仍成立呢？ 这就是本节所要讨论的问题。

首先， 简单的答案是： 这样的公式是存在的。 事实上， 这样的公式不仅存在， 而且并不复杂， 因此我们干脆在这里把它推导出来， 以满足大家的好奇心。 这一推导所依据的基本原理仍然是动量守恒定律， 我们也仍然在火箭参照系中计算火箭速度的增量。 这里要说明的是， 所谓火箭参照系， 指的是所考虑的瞬间与火箭具有同样运动速度的惯性参照系 (因此在不同的时刻， 火箭参照系是不同的)。 我们用带撇的符号表示火箭参照系中的物理量 (这是讨论相对论问题的惯例)。 与上一节的讨论相仿， 假设火箭单位时间内喷射的物质质量为 -dm’/dt’ (m’ 为火箭质量， dm’/dt’<0)， 喷射物相对于火箭的速度大小为 u (方向与火箭飞行方向相反)， 则在一个时间间隔 dt’ 内， 火箭的速度会因为喷射而得到一个增量 dv’。 依据动量守恒定律， 在火箭参照系中我们得到：

m’dv’ = -udm’

这里 dm’ 为喷射物的相对论质量 (运动质量)， 这一公式对于 u 接近甚至等于光速的情形也成立[注九]。在非相对论的情形下， 上面所有带撇的物理量都等于静止参照系 (地心参照系) 中的物理量， 因此对上述公式可以直接积分， 这种积分的含义是对上式中的速度增量进行累加。 但在相对论中， 速度合成的规律是非线性的， 把这些在不同时刻 - 因而在不同参照系中 - 计算出的速度增量直接相加是没有意义的， 因此上述速度增量必须先换算到静止参照系中才能积分。

运用相对论的速度合成公式， dv’ 所对应的静止系中的速度增量为：

dv = (dv’ + v)/(1 + vdv’/c2) - v = (1 - v2/c2)dv’

将这一结果与在火箭参照系中所得的关于 dv’ 的公式联立可得：

dv / (1 - v2/c2) = -u dm’/m’

对这一公式积分， 并进行简单处理， 便得：

v = c tanh[(u/c) ln(mi/mf)]

其中 mi 与 mf 是在火箭参照系中测量的。这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。 对于低速运动的火箭， (u/c) ln(mi/mf) << 1， 因而 tanh[(u/c) ln(mi/mf)]≈(u/c) ln(mi/mf)， 上述公式退化为齐奥尔科夫斯基公式。 由于对于任意 x， tanh(x) < 1， 因此由上述公式给出的速度在任何情况下都不会超过光速。

上述公式的一个特例是 u=c 的情形， 即喷射物为光子 (或其它无质量粒子) 的情形。 这种火箭常常出现在科幻小说中， 通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。 对于这种情形， 上述公式简化为： v = c(mi2 - mf2)/(mi2 + mf2)。 如果将火箭 90% 的物质转化为能量作为动力， 火箭的飞行速度可以达到光速的 99%。

五. 飞向深空

宇宙的浩瀚是星际旅行家们面临的最基本的事实。 即使能够达到接近光速的速度， 飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。 从太阳系出发， 到银河系中心大约要飞 3 万年， 到仙女座星云 (M31 - 河外星系) 大约要飞 220 万年， 到室女座星系团 (Virgo - 河外星系团) 大约要飞 6000 万年 ... ... 相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说这些时间显然是太漫长了。 但是且慢悲观， 因为我们还有一个因素可以依赖， 那就是相对论的时钟延缓效应。 在相对论中运动参照系中的时间流逝由所谓的 “本征时间” 来表示， 它与静止参照系中的时间之间的关系为：

τ = ∫ (1 - v2/c2)1/2 dt

把这个公式用到火箭参照系中， τ 就是宇航员所感受到的时间流逝。 很显然， 火箭的速度越接近光速， 宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。 考虑到这个因素， 宇航员是不是有可能在自己的有生之年到银河系中心、 仙女座星云、 甚至室女座星系团去旅行呢？ 下面我们就来计算一下。

我们考虑一个非常简单的情形， 即火箭始终处于匀加速过程中。 当然这个匀加速度是在火箭参照系中测量的。 为了让宇航员有宾至如归的感觉， 我们把加速度选为与地球表面的重力加速度一样， 即 g。 用数学语言表示：

d2x’/dt’2 = g

把这一加速度变换到静止参照系 (地心参照系) 中可得：

d2x/dt2 = (1 - v2/c2)3/2g

由此积分可得：

x = (c2/g) [(1 + g2t2/c2)1/2 - 1]

只要加速的时间足够长 (gt>>c)， 上式可以近似为 x≈ct。 这表明在地心参照系中， 经过长时间加速后飞船基本上是以光速飞行的。 但是我们感兴趣的是宇航员所经历的时间， 即 “本征时间” τ， 这是很容易利用上式 - 即 τ 的定义 - 计算出的， 结果为：

τ = (c/g) sinh-1(gt/c)

我们可以从 τ 和 x 的表达式中消去 t， 由此得到：

τ = (c/g) sinh-1{[(1 + gx/c2)2 - 1]1/2}

如果 x<<c2/g≈1 光年， 即飞行距离远小于一光年， 上式可以近似为： τ≈(2x/g)1/2， 这正是我们熟悉的非相对论匀加速运动的公式。 如果 x>>c2/g≈1 光年， 即飞行距离远大于一光年， 上式可以近似为： τ≈(c/g) ln(2gx/c2)， 下面我们只考虑这种情形。 考虑到到达一个目的地通常还需要考察研究、 拍照留念， 因此火箭不能一味加速， 而必须在航程的后半段进行减速， 从而旅行所需的时间应当修正为：

τ ≈ (2c/g) ln(gx/c2) ~ (2 年) ln(x/光年)

倘若旅行的目的地是银河系的中心， x=30000 光年， 由上式可得 τ~ 20 年。 这就是说， 在宇航员看来， 仅仅 20 年的时间， 他就可以到达银河系的中心， 即使考虑到返航的时间， 前后也只要 40 年的时间， 他就可以衣锦还乡了。 这就是相对论的奇妙结论！ 只不过， 当他回到地球时， 地球上的日历已经翻过了整整 6 万年， 他的孙子的孙子的孙子 ... ... (如果有的话) 都早已长眠于地下、 墓草久宿了。

运用同样的公式， 我们可以计算出到达仙女座星云所需的时间约为 29 年； 到达室女座星系团所需的时间约为 36 年； ... ... (在这里读者们对于对数函数增长之缓慢大概会有一个深刻的印象吧)。 倘若一个宇航员 20 岁时坐上火箭出发， 如果他可以活到 80 岁， 那么在他的有生之年 (不考虑返航 - 壮士一去兮不复返)， 他可以到达 10000000000000 (十万亿) 光年远的地方。 这个距离已经远远远远地超过了可观测宇宙的线度， 因此这样的一位宇航员在有生之年可以到达宇宙中任意远的地方！

这样看来， 星际旅行似乎并不象人们渲染的那样困难。 如果是那样， 我们也就不必费心讨论什么 Wormhole 和 Transporter 了， 直接坐上火箭遨游太空就是了。 事情当然不会如此简单， 别忘了在我们的计算中火箭是一直在加速的 (否则的话， 那个帮了我们大忙的对数函数就会消失)， 这样的火箭耗费的能量是惊人的 (究竟要耗费多少能量呢？ 运用本文给出的结果， 读者可以自己试着计算一下)。 不过这种能量耗费所带来的工程学上的困难比起建造 Wormhole 所面临的困难来终究还是要小得多。 因此运用这样的火箭探索深空也许真的会成为未来星际旅行家们的选择。唯一的遗憾是， 他们只要走得稍远一点， 我们就没法分享他们的旅行见闻了。

因为相对论只保佑他们， 不保佑我们。

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注释

[注一] 大气层与行星际空间是连续衔接的， 所谓 “穿过大气层” 指的是穿过厚度在百余公里以内的稠密大气层。

[注二] 当然， 这里我们要忽略空气阻力， 并且还要忽略地球表面的地形起伏。

[注三] 这里我们： 1. 用卫星一词指那些环绕地球运动的物体， 这些物体的轨迹是局限在有限区域中的 (否则的话可能的轨迹还包括抛物线与双曲线)。 2. 假定地球的引力场是一个严格的平方反比中心力场。 3. 忽略任何其它星体的引力场。

[注四] 确切地讲是指速度的大小， 下文提到的 “向心力”、 “引力” 等也往往指的是大小， 请读者自行判断其含义。

[注五] 这里参照系取在地心， 我们忽略由地球自转所导致的卫星动能 (忽略所造成的误差小于 1%)。

[注六] 确切地讲是忽略太阳引力场中引力势能的变化。 在这一限制之下其它行星的引力场也同样可以忽略。

[注七] 类似于凡尔纳大炮那样的装置在表面引力较弱的星球 - 比如月球 - 上建造起来就会容易许多， 因此有人设想它可以成为未来月球基地的航天器发射装置。

[注八] 在理论与实验上都有迹象表明， 在特定的条件及特定的含义下， 运动速度超过光速不是绝对不可能的， 但是这种超光速并不象许多科普爱好者所认为的那样， 是推翻了相对论。 关于这一点， 以后有时间再作专门的介绍。

[注九] 假如 u 等于光速， 则 dm’ 理解为 dE’/c2 (E’ 为喷射物的能量)。

作者：卢昌海 二零零三年十月十四日写于纽约

责任编辑：中国航天工程咨询中心_侯丹

天文科学小知识如下：

1. 恒星是宇宙中最基本的天体，由炽热气体组成，主要成分是氢和氦。

2. 太阳是由炽热的气体组成的球状天体，主要成份是氢和氦。太阳的体积约为地球体积的130万倍。

3. 行星是在椭圆轨道上绕太阳运行的、近似球形的天体，它们不发光，质量比太阳小得多。太阳系目前已知的八大行星距日由近及远依次为:水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。

4. 太阳辐射对地球和人类的影响：维持地表温度，水循环、大气运动等的动力，人类的主要能源。

5. 太阳活动：黑子（标志）、耀斑（最激烈）。

6. 我国太阳能的分布：青藏高原（最高）、四川盆地（最低）。

7. 太阳外部结构及其相应的太阳活动：光球（黑子）、色球（耀斑）、日冕（太阳风）。

8. 太阳黑子的变化周期：11年。

9. 太阳活动对地球的影响： ①影响气候； ②影响短波通讯； ③产生磁暴现象。

10. 空间探索阶段的开始：1957年10月，原苏联第一颗人造地球卫星上天。

11. 空间开发阶段的开始：1981年第一架航天飞机试航成功。

12. 我国航天事业的发展史：1970年“东方红”一号、1999年“神舟号”载人航天试验飞船。

13. 宇宙自然资源的分类：空间资源（高真空、强辐射、失重）、太阳能资源、矿产资源。

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